Se establecen los fundamentos del cálculo fraccional según diferentes enfoques que pueden ser útiles para nuestras aplicaciones en la teoría de la probabilidad y los procesos estocásticos. Además de esto, a partir de esta integral fraccional, se pueden enumerar casi todas las densidades extendidas para el parámetro de la vía y . Aquí, presentamos la idea de modelos de colas más gruesas o más delgadas asociados con una distribución de tipo gamma como un caso límite del operador de vía. Se establecen aplicaciones de este modelo gamma extendido en mecánica estadística, modelos de entrada-salida, modelado de irradiancia espectral solar, etc.