El retraso temporal y las funciones de incidencia no lineales tienen un efecto significativo en la propagación de rumores. En este artículo, se propone un modelo de propagación de rumores con dos retrasos temporales desiguales y un efecto de saturación. Se muestra la existencia, unicidad y no negatividad de la solución a este modelo. Se determina el número básico de reproducción. Se deriva un criterio para la existencia de un equilibrio endémico de rumores. Se encuentra que hay una interesante bifurcación condicional hacia adelante. Como consecuencia, se exhibe un fenómeno de bifurcación complejo. Se esboza una colección de criterios para la estabilidad asintótica del equilibrio libre de rumores. En ausencia de un retraso temporal, se presenta un criterio para la estabilidad asintótica local del equilibrio endémico de rumores. En presencia de pequeños retrasos temporales, se establece un criterio para la estabilidad asintótica local del equilibrio endémico de rumores aplicando nuestra técnica recientemente desarrollada. Finalmente, un problema de control de propagación de rumores se reduce a un modelo de control óptimo, que se aborda en el marco de la teoría de control óptimo. Este trabajo facilita la comprensión de la influencia de los retrasos temporales y el efecto de saturación en la propagación de rumores.