Consideramos el principio de la acción mínima en el contexto del cálculo fraccional. Específicamente, derivamos la ecuación de Euler-Lagrange fraccional y la ecuación general de movimiento con la composición de las derivadas fraccionales izquierda y derecha definidas en intervalos infinitos. Además, construimos una representación explícita de soluciones para una ecuación modelo de oscilador fraccional que contiene las derivadas fraccionales de Gerasimov-Caputo izquierda y derecha con orígenes en más y menos infinito. Derivamos una representación para la composición de las derivadas izquierda y derecha con orígenes en más y menos infinito en términos del potencial de Riesz, e introducimos funciones especiales con las cuales damos soluciones a la ecuación modelo de oscilador fraccional con un coeficiente complejo. Este enfoque puede ser útil para describir sistemas dinámicos disipativos con la propiedad de herencia.