El objetivo de este documento es investigar el comportamiento cualitativo de la pandemia de COVID-19 bajo un programa de vacunación inicial. Construimos un modelo matemático basado en un sistema no lineal de ecuaciones diferenciales con retraso. El retraso temporal representa el tiempo que la vacuna tarda en proporcionar protección inmune contra el SARS-CoV-2. Investigamos el impacto de las tasas de transmisión, la vacunación y el retraso temporal en la dinámica del sistema construido. El modelo fue desarrollado para el inicio de la implementación de programas de vacunación para controlar la pandemia de COVID-19. Realizamos un análisis de estabilidad en los puntos de equilibrio y mostramos, utilizando métodos de análisis de estabilidad para sistemas con retraso, que el sistema experimenta una bifurcación de Hopf. Los resultados teóricos revelan que bajo algunas condiciones relacionadas con los valores de los parámetros y el número básico de reproducción, el sistema se acerca al punto de equilibrio libre de enfermedades, pero si el número básico de reproducción es mayor que uno, el sistema se acerca al equilibrio endémico y el SARS-CoV-2 no puede ser erradicado. Ejemplos numéricos corroboran los resultados teóricos y la metodología. Finalmente, se presentan conclusiones y discusiones sobre los resultados.