Se propone aquí, por primera vez, una distinción largamente esperada entre los llamados potenciales complejos variantes e invariantes. Los potenciales complejos invariantes describen flujos físicos donde un cambio entre las partes real e imaginaria de la función seguirá describiendo el mismo tipo de flujo físico (pero solo rotado 90 grados). Tales invariantes pueden formularse con la fórmula de Euler para representar el mismo flujo para cualquier orientación arbitraria con respecto al sistema de coordenadas utilizado. En contraste, los potenciales complejos variantes, al intercambiar sus partes real e imaginaria, resultarán en dos flujos físicos fundamentalmente diferentes. A continuación, mostramos que las integrales de contorno de las partes real e imaginaria de simples potenciales complejos variantes e invariantes, en general, no generan problemas discernibles de corte de rama. Sin embargo, los potenciales complejos debido a las múltiples superposiciones de flujos simples, incluso cuando son invariantes, pueden involucrar muchas opciones para seleccionar las ubicaciones de los cortes de rama. Se dan ejemplos de tales elecciones de corte de rama para los llamados dobles areales y dipolos areales, que son herramientas poderosas para describir las líneas de corriente y los campos de presión para el flujo en medios porosos con canales de flujo de permeabilidad mejorada. Después de una discusión sobre las soluciones de corte de rama, se presentan aplicaciones a una serie de ejemplos sintéticos y de campo con canales de flujo de permeabilidad mejorada, junto con ejemplos de las soluciones de líneas de corriente y campos de presión.