El enfoque convencional del análisis de convergencia local de un método iterativo en , con un número natural, depende de la expansión en series de Taylor. Esta técnica a menudo requiere el cálculo de derivadas de alto orden. Sin embargo, esas derivadas pueden no formar parte del método propuesto(s). De esta manera, el/los método(s) pueden enfrentar varias limitaciones, particularmente el uso de derivadas de orden superior y la falta de información sobre límites de error a priori computables en la distancia o unicidad de la solución. En este artículo, abordamos estos inconvenientes realizando el análisis de convergencia local dentro del marco más amplio de un espacio de Banach. Hemos seleccionado una importante familia de métodos de alto orden de convergencia para demostrar nuestra técnica como ejemplo. Sin embargo, debido a su generalidad, nuestra técnica puede ser utilizada en cualquier otro método iterativo que utilice inversos de operadores lineales en la misma línea. Nuestro análisis no solo se extiende en espacios, sino que también proporciona condiciones de convergencia basadas en los operadores utilizados en el método, lo que ofrece la aplicabilidad del método en un área más amplia. Además, presentamos un análisis de convergencia semilocal novedoso no presentado antes en tales estudios. Ambas formas de análisis de convergencia dependen del concepto de continuidad generalizada y proporcionan una comprensión más profunda de las propiedades de convergencia. Nuestra metodología no solo mejora la aplicabilidad del método propuesto(s) sino que también proporciona adecuación para problemas de ciencia aplicada. Los resultados computacionales también respaldan los aspectos teóricos.