En este trabajo, estudiamos una clase de problemas de desigualdad variacional definidos sobre la intersección de conjuntos de subniveles de una familia contable de funciones convexas. Proponemos un nuevo método iterativo para aproximar la solución dentro del marco de espacios de Hilbert. El método incorpora varias estrategias, incluyendo efectos inerciales, un tamaño de paso autoadaptativo y una técnica de relajación, para mejorar las propiedades de convergencia. Notablemente, solo requiere calcular una proyección en un semiespacio. Usando algunas condiciones suaves, demostramos que la secuencia generada por nuestro método propuesto converge fuertemente hacia una solución de norma mínima al problema. Finalmente, presentamos algunos resultados numéricos que validan la aplicabilidad de nuestro método propuesto.