Este documento propone un método de extrapolación para resolver una clase de ecuaciones integrales de Volterra con núcleo débilmente singular no lineales y retraso que tiende a cero. Después de probar la existencia y unicidad de la solución de la ecuación original, combinamos una fórmula de cuadratura trapezoidal mejorada con una técnica de interpolación para obtener una ecuación aproximada, y luego mejoramos la precisión del error de la solución aproximada utilizando la extrapolación de Richardson, sobre la base de la expansión asintótica del error. Simultáneamente, se deriva una estimación de error a posteriori para el método. Se presentan algunos ejemplos ilustrativos que demuestran la eficacia del método.