Las ecuaciones diferenciales parabólicas de retardo unidimensionales singularmente perturbadas con término fuente discontinuo y coeficiente de convección son consideradas en este documento. Para la derivada temporal, utilizamos el método implícito de Euler fraccionario, seguido del método de diferencias finitas ajustado con interpolación bilineal para problemas localmente unidimensionales. Se demuestra que el método propuesto es casi convergente de primer orden en la dirección espacial y convergente de primer orden en la dirección temporal. Los resultados teóricos se ilustran con ejemplos numéricos.