Este artículo está dedicado a la convergencia semilocal, utilizando hipótesis centradas, de un método de tipo Newton de tercer orden en un entorno de espacio de Banach. El método está libre de operadores bilineales y, por lo tanto, es interesante para la solución de sistemas de ecuaciones. Sin imponer ningún tipo de diferenciabilidad de Fréchet en el operador, también se analiza una variante que utiliza diferencias divididas. También se presenta una variante del método que utiliza solo diferencias divididas.