En este artículo, se considera un método espectral espacio-temporal para aproximar ecuaciones diferenciales de tercer orden con condiciones de frontera no periódicas. Se emplea la discretización de Legendre-Petrov-Galerkin tanto en el espacio como en el tiempo. En el análisis teórico, se obtiene una prueba rigurosa de estimaciones de error en las normas ponderadas espacio-temporales para el esquema completamente discreto. También formulamos la forma matricial del esquema completamente discreto tomando funciones de prueba y de ensayo apropiadas tanto en el espacio como en el tiempo. Finalmente, se realizan experimentos numéricos extensos para problemas lineales y no lineales, y se obtiene precisión espectral tanto en el espacio como en el tiempo. Además, los resultados numéricos se comparan con los calculados por otros métodos numéricos para confirmar la eficiencia del método propuesto.