Recientemente, el problema inverso dividido ha recibido gran atención en la investigación debido a sus diversas aplicaciones en campos variados. En este documento, estudiamos una nueva clase de problemas inversos divididos llamados problemas de desigualdad variacional dividida con múltiples conjuntos de salida. Proponemos un nuevo método de extragradiente de Tseng, que utiliza tamaños de paso autoadaptativos para aproximar la solución al problema cuando los operadores de costo son seudomontonos y no Lipschitz en el marco de los espacios de Hilbert. Señalamos que, aunque los operadores de costo no son Lipschitz, nuestro método propuesto no implica ningún procedimiento de búsqueda de línea para su implementación. En cambio, empleamos una técnica de tamaño de paso autoadaptativo más eficiente con parámetros conocidos. Además, empleamos el método de relajación y la técnica inercial para mejorar las propiedades de convergencia del algoritmo. Además, bajo algunas condiciones suaves sobre los parámetros de control y sin conocer la norma de los operadores, demostramos que la secuencia generada por nuestro método propuesto converge fuertemente a una solución de norma mínima al problema. Finalmente, aplicamos nuestro resultado para estudiar ciertas clases de problemas de optimización, y presentamos varios experimentos numéricos para demostrar la aplicabilidad de nuestro método propuesto. Varios de los resultados existentes en la literatura en esta dirección podrían considerarse como casos especiales de nuestros resultados en este estudio.