El objetivo de este artículo es estudiar, desde un punto de vista topológico y geométrico, el mapa de iteración obtenido mediante la aplicación de métodos iterativos (método de Newton o método de Newton relajado) a una ecuación polinómica. De hecho, presentamos una colección de algoritmos que evitan el problema de desbordamientos causados por denominadores cercanos a cero y el problema de indeterminación que aparece cuando simultáneamente el numerador y el denominador son iguales a cero. Esto se resuelve trabajando con coordenadas homogéneas y la iteración de autoaplicaciones de la fibración de Hopf. Como aplicación, nuestros algoritmos pueden utilizarse para verificar la existencia de raíces múltiples para ecuaciones polinómicas, así como para dar una representación gráfica de la unión de las cuencas de atracción de raíces simples y la unión de las cuencas de atracción de raíces múltiples. Finalmente, nos gustaría destacar que todos los algoritmos desarrollados en este trabajo han sido implementados en Julia, un lenguaje de programación con un uso creciente en la comunidad matemática.