Investigamos el proceso de mediciones cuánticas en sondas dispersas. Antes de la dispersión, las sondas son independientes, pero se vuelven entrelazadas después, debido a la interacción con el dispersor. La colección de resultados de las mediciones (la historia) es un proceso estocástico de variables aleatorias dependientes. Vinculamos las propiedades asintóticas de este proceso a las características espectrales de la dinámica. Mostramos que el proceso tiene correlaciones temporales decrecientes y que se cumple una ley de cero-uno. Deducimos que si las sondas entrantes no están localizadas de manera nítida con respecto al espectro del operador de medición, entonces el proceso no converge. Sin embargo, la dispersión modifica las frecuencias de los resultados de la medición, que se muestran como el promedio del operador de proyección de la medición, evolucionado durante un período de interacción, en un estado asintótico. Ilustramos los resultados en un modelo truncado de Jaynes-Cummings.