En este documento, presentamos un mapa coseno fraccional discreto de orden complejo generalizado. Se examina el análisis dinámico del mapa propuesto de orden fraccional complejo. Se exploran las características de existencia y estabilidad de los puntos fijos del mapa. Se examina en detalle la existencia de conjuntos fractales de Mandelbrot y conjuntos de Julia, así como sus propiedades fractales. Varias simulaciones detalladas ilustran los efectos del parámetro de orden fraccional, así como los valores de la constante del mapa y el exponente. Además, se construyen controladores de dominio complejo para controlar los conjuntos de Julia producidos por el mapa propuesto o para lograr la sincronización de dos conjuntos de Julia en configuraciones maestro/esclavo. Identificamos el escenario de sincronización más realista en el que los valores de los parámetros del mapa maestro son desconocidos. Finalmente, se emplean simulaciones numéricas para confirmar los resultados teóricos obtenidos a lo largo del trabajo.