Las estructuras métricas de contacto débiles en una variedad suave, introducidas por V. Rovenski y R. Wolak en 2022, han proporcionado nuevas perspectivas sobre la teoría de las estructuras clásicas. En este artículo, definimos nuevas estructuras de este tipo (llamadas estructuras débilmente casi Sasakian y débilmente casi cosimplecticas y casi kählerianas), estudiamos su geometría y damos aplicaciones a campos vectoriales de Killing. Introducimos variedades débilmente casi kählerianas (generalizando variedades casi kählerianas), caracterizamos hipersuperficies débilmente casi Sasakianas y débilmente casi cosimplecticas en tales variedades riemannianas y demostramos que una variedad débilmente casi cosimplectica con campo vectorial Reeb paralelo es localmente el producto riemanniano de una recta real y una variedad débilmente casi kähleriana.