Este documento se centra en un sistema interactivo de dos componentes introducido por Popowicz, que tiene la forma de acoplamiento de las ecuaciones de Camassa-Holm y Degasperis-Procesi. Utilizando la teoría de distribuciones, se describen soluciones de pico único y varias soluciones de doble pico del sistema en una expresión explícita. Además, se ilustran los comportamientos dinámicos de varios tipos de soluciones de doble pico a través de figuras. Además, se consideran las propiedades de persistencia de las soluciones del sistema de Popowicz en espacios ponderados a través de una amplia clase de pesos moderados.