En este documento, consideramos los grupos de isometrías de espacios métricos que surgen de grupos abelianos aditivos finitamente generados. Sea un grupo abeliano aditivo finitamente generado. Sea donde es una reflexión en el origen y . Mostramos que (1) para cualquier grupo abeliano aditivo finitamente generado y conjunto generador finito con y , el subgrupo máximo de es ; (2) si y solo si o donde ; (3) para los grupos vectoriales sobre enteros con conjunto generador finito , . El documento también incluye algunos resultados técnicos intermedios.