El estado (o transmisión) de un vértice en un grafo conectado es la suma de las distancias entre el vértice y todos los demás vértices. El estado mínimo (o transmisión mínima) de un grafo conectado es el mínimo de los estados de todos los vértices en el grafo. Anteriormente, se han obtenido límites inferiores y superiores precisos sobre el estado mínimo de grafos conectados con un grado máximo y orden fijo. Además, para , también se ha propuesto el siguiente teorema sobre grafos que alcanzan el máximo en el estado mínimo sin demostración. El teorema es el siguiente: Sea un grafo conectado de orden n con , donde . Entonces, el estado mínimo alcanza el máximo si y solo si se cumple una de las siguientes condiciones. (1) es un camino o un ciclo, donde ; (2) es un subgrafo de expansión de y es un subgrafo de expansión de , donde ; y (3) ya sea es un subgrafo de expansión de y es un subgrafo de expansión de o es un subgrafo de expansión de y es un subgrafo de expansión de , donde para pares . Para los enteros con , el grafo tiene el conjunto de vértices y el conjunto de aristas ; el grafo se obtiene añadiendo todos los bordes , donde ; y para pares el grafo se obtiene añadiendo el borde y todos los bordes , donde . Este estudio proporciona la prueba para completar el teorema anterior.