En el billar de Galperin, dos bolas que chocan con una pared dura forman una calculadora analógica para los dígitos del número . Este sistema clásico tridimensional de tres cuerpos (contando la pared dura) calcula los dígitos de en una base determinada por la proporción de las masas de las dos partículas. Esta base puede ser cualquier número entero, pero también puede ser un número irracional, o incluso la base puede ser ella misma. Este artículo revisa resultados anteriores para el billar de Galperin y luego lleva estos resultados más lejos. Proporcionamos una solución explícita completa para las posiciones y velocidades de las bolas como función del número de colisión y el tiempo. Demostramos que el billar de Galperin se puede mapear en un modelo de tipo Calogero de dos partículas. Identificamos un segundo invariante dinámico para cualquier razón de masas que proporciona integrabilidad para el sistema, y para una secuencia de razones de masas específicas identificamos un tercer invariante dinámico que establece la superintegrabilidad. La integrabilidad nos permite derivar algunos resultados exactos nuevos para trayectorias, y aplicamos estas soluciones para analizar los errores sistemáticos que ocurren al calcular los dígitos de con el billar de Galperin, incluidos casos curiosos con bases de números irracionales.