Bajo la hipótesis uniforme de Hörmander, estudiamos la suavidad y los límites exponenciales de la densidad de la ley de la solución de una ecuación diferencial estocástica (SDE) con deriva localmente Lipschitz que satisface una condición de monotonicidad. Extendemos el enfoque utilizado para SDEs con coeficientes globalmente Lipschitz y obtenemos estimaciones para la matriz de covarianza de Malliavin y su inversa. Basándonos en estas estimaciones y utilizando la diferenciabilidad de Malliavin de cualquier orden de la solución de la SDE, demostramos límites exponenciales de la ley de densidad de la solución. Estos resultados pueden ser utilizados para estudiar la convergencia de esquemas numéricos implícitos para SDEs.