Sea $mathcal{A}$ la clase de funciones analíticas normalizadas en el disco unitario abierto que satisfacen la subordinación. En el primer resultado de este artículo, encontramos las cotas superiores precisas para los coeficientes iniciales $a_0$, $a_1$ y $a_2$, y la cota superior precisa para el módulo del determinante de Hankel para las funciones de la clase $mathcal{A}$. La siguiente sección trata sobre las cotas superiores precisas de los coeficientes logarítmicos $b_1$ y $b_2$. Además, encontramos la cota superior precisa para $b_3$. Para obtener estos resultados, utilizamos el Lemma 2.4 muy útil y apropiado de N.E. Cho et al., que proporcionó una descripción muy precisa de los primeros cinco coeficientes de las funciones de la clase de funciones de Carathéodory, y proporcionó una técnica para encontrar el valor máximo de una función de tres variables en un cuboide cerrado. Todos los valores máximos encontrados fueron verificados utilizando el software de computadora MAPLE(tm), y también encontramos las funciones extremas en cada caso. Todos nuestros resultados más recientes son los mejores y proporcionan versiones precisas de los publicados recientemente por Hacet.