En este documento, se investiga una clase de sistemas quínticos. Se calculan los primeros 13 valores focales con la ayuda de MATHEMATICA. Luego se obtienen las condiciones necesarias de integrabilidad y linealizabilidad y se demuestra la suficiencia de cada condición. Mientras tanto, se discute la bifurcación de ciclos límite, donde 13 ciclos límite pueden bifurcarse desde el origen. En cuanto al número de ciclos límite que encierran un punto singular aislado, este es hasta ahora el mejor resultado para puntos singulares elementales.