En este documento, damos otra definición de elementos de Ruston y elementos casi Ruston, que es equivalente a las definiciones dadas por Mouton y Raubenheimer en el caso de que el homomorfismo tenga un rango cerrado y propiedad de Riesz. Para dos homomorfismos, consideramos los problemas preservadores de la teoría de Fredholm y la teoría del espectro de Fredholm. Además, estudiamos los teoremas de mapeo espectral de elementos de Fredholm (Weyl, Browder, Ruston y casi Ruston) en relación con un homomorfismo. Por último, pero no menos importante, se considera la dependencia de la teoría de Fredholm en tres homomorfismos, y al mismo tiempo, se ilustra la transitividad de la teoría de Fredholm en relación con tres homomorfismos. Además, consideramos la teoría de Fredholm en relación con más homomorfismos.