Construimos las funciones de Green (o propagadores de Feynman) para las ecuaciones de Schrödinger de la forma (para la función de onda y sus derivadas temporales () y espaciales) en términos de funciones de Airy y resolvemos el problema de valor inicial de Cauchy en las representaciones de coordenadas y momento. También se encuentran soluciones particulares de las correspondientes ecuaciones de Schrödinger no lineales con coeficientes variables. Se estudia en detalle un caso especial del oscilador paramétrico cuántico primero. La función de Green se da explícitamente en términos de funciones de Airy y se encuentran las amplitudes de transición correspondientes en términos de una función hipergeométrica. Luego se considera el caso general del oscilador paramétrico cuántico de manera similar. Se establece un significado teórico de grupos de las amplitudes de transición y su relación con las funciones de Bargmann. La bibliografía relevante, según nuestro conocimiento, se aborda.