Siguiendo la equivalencia entre desigualdades logarítmicas de Sobolev y la hipercontratibilidad demostrada por L. Gross, y aplicando las ideas y métodos del trabajo de Bobkov, Gentil y Ledoux, nos gustaría establecer una nueva conexión entre las desigualdades logarítmicas de Sobolev y la hipercontratibilidad de las soluciones de ecuaciones duales de Hamilton-Jacobi. Además, la desigualdad de Poincaré también es recuperada por las ecuaciones duales de Hamilton-Jacobi.