El problema combinatorio en este documento está motivado por una variante del famoso problema del vendedor viajero donde el vendedor debe regresar al punto de partida después de cada entrega. La longitud total de una ruta de entrega está relacionada con una métrica conocida como centralidad de cercanía. La centralidad de cercanía de un vértice en un grafo fue definida en 1950 por Bavelas como , donde es la suma de las distancias desde hasta cada uno de los otros vértices (que es la mitad de la distancia total en la ruta de entrega). Proporcionamos un ejemplo del mundo real que implica la red ferroviaria de la Autoridad de Tránsito Rápido de Atlanta y identificamos estaciones cuyos valores son casi idénticos, lo que significa que tienen una proximidad similar a otras estaciones en la red. Luego consideramos aspectos teóricos que involucran árboles asimétricos. Para valores enteros de , consideramos el árbol asimétrico con caminos de longitudes que inciden en un vértice central. Investigamos árboles con diferentes valores de , y para y , establecimos condiciones necesarias y suficientes para la existencia de dos vértices con valores idénticos, lo que tiene una conexión sorprendente con los números triangulares. Además, investigamos árboles asimétricos con caminos incidentes en dos vértices y encontramos una condición suficiente para que los vértices tengan valores iguales. Esto lleva a nuevas pruebas combinatorias de identidades que surgen del triángulo de Pascal.