Consideramos la posibilidad de construir una jerarquía de la extensión compleja de la ecuación de Korteweg-de Vries (cKdV), que bajo la suposición de que la función es real pasa a la jerarquía de KdV. Una jerarquía se entiende aquí como una familia de ecuaciones diferenciales parciales no lineales con un par Lax con un operador de dispersión común. La jerarquía cKdV se obtiene examinando la ecuación en los valores propios del operador autoadjunto hermítico de cuarto orden en las transformaciones invariantes de las funciones de vector propio. Se demuestra que para que un operador transforme una solución de la ecuación en valores propios en una solución de la misma ecuación, es necesario y suficiente que la función compleja del operador cumpla condiciones especiales que son las complejificaciones de las ecuaciones de la jerarquía KdV. Los operadores se construyen como operadores diferenciales de orden 2 + 1. También construimos una jerarquía de ecuaciones KdV perturbadas (pKdV) con una función de perturbación especial, cuya dinámica está descrita por una ecuación lineal. Se basa en el sistema de ecuaciones de operador obtenidas por Bogoyavlensky. Dado que los elementos de las jerarquías están unidos por un operador de dispersión común, permanece inalterado en la derivación de las ecuaciones. El segundo operador diferencial del par Lax tiene derivadas impares crecientes manteniendo una forma antisimétrica. Se muestra que cuando la perturbación tiende a cero, todas las ecuaciones de la jerarquía se convierten en ecuaciones KdV superiores. Se demuestra que las ecuaciones de la jerarquía pKdV son una condición necesaria y suficiente para que las soluciones de la ecuación en valores propios tengan transformaciones invariantes.