Fue establecido por Jensen en 1970 que hay una extensión genérica del universo constructible por un real no constructible, mínimo sobre , tal que está en . Nuestro primer teorema principal generaliza el resultado de Jensen construyendo, para cada , una extensión genérica por un real no constructible, aún mínimo sobre , tal que está en pero todos los reales son constructibles en . La construcción de forcing de Jensen ha encontrado varias aplicaciones en la teoría moderna de conjuntos. Recientemente se discutió un problema sobre si la construcción de Jensen puede ser reproducida completamente mediante aritmética de Peano de segundo orden, o, equivalentemente, (sin el axioma del conjunto potencia). El obstáculo es que la prueba de la propiedad clave CCC (ya sea por el argumento original de Jensen o la prueba posterior utilizando la técnica del diamante) implica esencialmente submodelos elementales contables de , lo cual está muy allá de . Mostramos cómo sortear esta dificultad mediante la eliminación solo de cadenas antidefinibles en el curso de una construcción transfinita tipo Jensen de la noción de forcing, y luego usamos esta modificación para definir un modelo con un real mínimo como se requiere como una extensión de forcing de clase de un modelo de más .