Jones caracterizó, entre otros, la monogenia de una familia de polinomios cíclicos sextos. Nuestro propósito es estudiar la monogenia de la familia de campos numéricos sextos correspondientes. Mostramos que varios de estos campos numéricos son monogénicos, a pesar de que el polinomio definitorio de su elemento generador no es monogénico. En los campos monogénicos, hay varios generadores inequivalentes de bases integrales de potencia. Nuestro cálculo también proporciona la primera aplicación no trivial del método descrito anteriormente para estudiar la monogenia en extensiones totalmente reales de campos cuadráticos imaginarios, enfatizando la eficiencia de dicho algoritmo.