Este documento de investigación se centra en investigar la solubilidad de un problema restringido que implica una ecuación funcional no lineal con retardo sujeta a una restricción integral funcional cuadrática, en dos casos significativos: en primer lugar, la existencia de soluciones no decrecientes en un intervalo acotado y, en segundo lugar, la existencia de soluciones no crecientes en un intervalo no acotado. Además, el documento explora varias propiedades cualitativas asociadas con estas soluciones para el problema dado. Para establecer la validez de nuestras afirmaciones, empleamos la técnica de medida de no compacidad de De Blasi (MNC) como una herramienta básica para nuestras demostraciones. En el primer caso, proporcionamos condiciones suficientes para la unicidad de la solución y demostramos rigurosamente su dependencia continua en algunos parámetros. Además, establecemos la equivalencia entre el problema restringido y una ecuación integral funcional híbrida implícita (IHFIE). Además, profundizamos en el estudio de la estabilidad de Hyers-Ulam. En el segundo caso, examinamos tanto la estabilidad asintótica como la dependencia continua de la solución en algunos parámetros. Finalmente, se proporcionan algunos ejemplos para verificar nuestra investigación.