Este artículo está dedicado a la investigación de la solubilidad débil del problema de valor inicial en la frontera, que describe el movimiento de fluidos viscoelásticos con memoria. La memoria del fluido se considera no en una posición constante de la partícula de fluido (como en la mayoría de los documentos sobre este tema), sino a lo largo de la trayectoria de la partícula de fluido (lo cual es más físico). Esto lleva a la aparición de una función desconocida , que es la trayectoria de las partículas de fluido y está determinada por la velocidad de una partícula de fluido. Sin embargo, en este caso, la velocidad pertenece a , lo que no permite el uso de la solución del Problema de Cauchy clásico. Por lo tanto, utilizamos la teoría de flujos lagrangianos regulares para determinar correctamente la trayectoria de la partícula. Este documento establece la existencia de soluciones débiles al problema considerado. Para este propósito, se utiliza el enfoque de aproximación topológica para el estudio de problemas matemáticos de hidrodinámica, construido por el Prof. V. G. Zvyagin.