En este documento, consideraremos el problema de construir mapas estables entre dos superficies orientables cerradas y con un conjunto de ramas dado de curvas inmersas en . Estudiaremos, desde un punto de vista global, el comportamiento de sus familias en diferentes clases de isotopías en el espacio de mapas suaves. El objetivo principal es obtener diferentes relaciones entre invariantes. Proporcionaremos una nueva demostración del Teorema de Quine.