El objetivo de este documento es presentar y estudiar cuasi-interpolantes de spline cuadrático bivariado no lineal en triangulaciones uniformes de criss-cross para la aproximación de funciones con discontinuidades. De hecho, al utilizar cuasi-interpolantes de spline clásicos, aparece el fenómeno de Gibbs al aproximar cerca de las discontinuidades. Aquí, utilizamos técnicas ponderadas esencialmente no oscilatorias para modificar cuasi-interpolantes clásicos con el fin de evitar oscilaciones cerca de las discontinuidades y mantener una precisión de alto orden en regiones suaves. Estudiamos las propiedades de convergencia de los cuasi-interpolantes propuestos y proporcionamos algunas pruebas numéricas y gráficas que confirman los resultados teóricos.