En este documento, estudiamos un método de interpolación polinómica que se encuentra entre los métodos de Lagrange y Hermite. La novedad es que utilizamos sistemas nodales muy generales en el círculo unitario, así como en el intervalo acotado, solo caracterizados por una propiedad de separación. La forma en que interpolamos consiste en considerar todos los nodos para los valores prescritos y solo la mitad para las derivadas. En primer lugar, desarrollamos la teoría en el círculo unitario, obteniendo las principales propiedades de los polinomios nodales y estudiando la convergencia de los polinomios de interpolación correspondientes a funciones continuas con algún tipo de módulo de continuidad y con condiciones generales sobre los valores prescritos para la mitad de las derivadas. Completamos esta primera parte del documento con el estudio de la convergencia para funciones suaves obteniendo la tasa de convergencia, que es ligeramente más lenta que cuando se consideran puntos nodales equidistribuidos. La segunda parte del documento está dedicada a resolver un problema similar en el intervalo acotado mediante el uso de sistemas nodales que tienen buenas propiedades de separación, generalizando el sistema Chebyshev-Lobatto, y están relacionados con los sistemas nodales en el círculo unitario estudiados anteriormente. Obtenemos una expresión de los polinomios de interpolación, así como resultados sobre su convergencia en el caso de funciones continuas con un módulo de continuidad conveniente y, en particular, para funciones diferenciables. Finalmente, presentamos algunos experimentos numéricos relacionados con la aplicación del método con los sistemas nodales tratados.