Consideramos el sistema dinámico dependiente del tiempo donde es una función arbitraria no nula y los coeficientes de conexión se calculan a partir de la métrica cinética (energía cinética) del sistema. Para determinar las primeras integrales cuadráticas (QFIs) asumimos que donde los coeficientes desconocidos son tensores que dependen de y imponen la condición . Esta condición conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales parciales (PDEs) que involucran las cantidades y . A partir de estas PDEs, se sigue que es un tensor de Killing (KT) de la métrica cinética. Utilizamos el KT de dos maneras: a. Asumimos una forma polinómica general en ambos para y ; b. Expresamos en una base de los KTs de orden 2 de la métrica cinética asumiendo que los coeficientes son funciones de . En ambos casos, esto conduce a un nuevo sistema de PDEs cuya solución requiere que especifiquemos ya sea o . Consideramos primero que es un polinomio general en y encontramos que en este caso el sistema dinámico admite dos QFIs independientes que recopilamos en un Teorema. A continuación, especificamos que las cantidades sean el potencial de Kepler dependiente del tiempo generalizado y determinamos las funciones para las cuales se admiten QFIs. Ampliamos la discusión a la ecuación diferencial no lineal y calculamos la relación entre los coeficientes para que se admitan QFIs. Aplicamos los resultados para determinar los QFIs de la ecuación de Lane-Emden generalizada.