Presentamos un método que utiliza la integración por contornos para evaluar la integral definida de integrales logarítmicas recíprocas de arcotangente en términos de sumas infinitas. De manera similar, evaluamos la integral definida que involucra la función polilogarítmica en términos de funciones especiales. En varios casos, estas generalizaciones dan el valor de constantes matemáticas conocidas como la constante de Catalan, la constante de Aprey, la constante de Glaisher-Kinkelin, y .