Usando la condición de crecimiento general históricamente en funciones analíticas de valor escalar, que tienen distribuciones moderadas como valores límite, demostramos que las funciones analíticas de valor vectorial en tubos obtienen distribuciones moderadas de valor vectorial como valores límite. En un cierto caso de valor vectorial, estudiamos la estructura de este valor límite, que se muestra como la transformada de Fourier de la derivada distribucional de una función continua de valor vectorial de crecimiento polinómico. Se muestra que un conjunto de funciones de valor vectorial se utiliza para mostrar la estructura del valor límite y tiene una relación biunívoca con un conjunto de distribuciones de valor vectorial, que generalizan el espacio de Schwartz; la transformada de Fourier de la distribución moderada define la relación entre estos dos conjuntos. Al combinar los resultados previamente mencionados, obtenemos una representación integral de Cauchy de las funciones analíticas de valor vectorial en términos del valor límite.