Un esquema numérico se dice que es localmente exacto si después de la linealización (alrededor de cualquier punto) se vuelve exacto. En este documento, comenzamos con una breve revisión sobre integradores exactos y localmente exactos para ecuaciones diferenciales ordinarias. Luego, extendemos nuestro enfoque a ecuaciones representadas en la llamada forma de gradiente lineal, incluyendo sistemas disipativos. Finalmente, aplicamos este enfoque a la ecuación de Duffing con un amortiguamiento lineal y sin fuerza externa. La modificación localmente exacta del esquema de gradiente discreto preserva la monotonía de la función de Lyapunov de la ecuación discretizada y se muestra que es muy precisa.