En este trabajo comenzamos a desarrollar una teoría de integración de tipo Riemann en espacios que están equipados con una estructura fractal. Estas estructuras topológicas tienen una naturaleza recursiva, lo que nos permite garantizar una buena aproximación al valor real de cierta integral con respecto a alguna medida definida en el álgebra de Borel del espacio. Damos la noción de sumas de Darboux e integrales de Riemann inferiores y superiores de una función acotada cuando se tiene una medida y una estructura fractal. Además, damos la noción de una función Riemann-integrable en este contexto y demostramos que cada función medible es Riemann-integrable con respecto a . Además, si es la medida de Lebesgue, entonces la integral de Lebesgue en un conjunto acotado coincide con la integral de Riemann con respecto a la medida de Lebesgue en el contexto de medidas y estructuras fractales. Finalmente, damos algunos ejemplos que muestran que podemos calcular integrales impropias e integrales en conjuntos fractales.