Nuestro artículo explora las desigualdades de Hermite-Hadamard a través de la aplicación de la metodología de la función de Green de Abel-Gontscharoff, que implica la interpolación de polinomios e integrales fraccionarias generalizadas de tipo Riemann. Mientras establecemos nuestros resultados principales, exploramos nuevas identidades. Estas identidades se utilizan para estimar nuevos hallazgos para funciones, de modo que la segunda derivada de las funciones sea monótona, absolutamente convexa y cóncava. Se incluye en las aplicaciones una sección que relaciona los resultados de la exploración con medias generalizadas y fórmulas del trapecio. Anticipamos que el método presentado en este estudio inspirará más investigaciones en este campo.