La turbulencia elasto-inercial (EIT), un nuevo estado turbulento encontrado en soluciones poliméricas con propiedades viscoelásticas, está asociada con la turbulencia reducida por arrastre. Sin embargo, la relación entre EIT y la turbulencia reducida por arrastre no se comprende bien en la actualidad, y es importante elucidar el mecanismo de la transición hacia EIT. La inestabilidad de los fluidos viscoelásticos se ha estudiado en un flujo de corte limitado por paredes canónicas para investigar el proceso de transición de EIT. En este estudio, dedujimos numéricamente que ocurre una inestabilidad en el flujo de Couette plano viscoelástico linealmente estable para números de Reynolds más bajos, en el cual existe una solución no lineal inestable. Bajo inestabilidad, la estructura del flujo se alarga en la dirección transversal y se organiza regularmente en la dirección de flujo, lo cual es una estructura característica de EIT. La regularidad de la estructura del flujo depende del número de Weissenberg, que representa la fuerza de elasticidad; la estructura se vuelve desordenada bajo altos números de Weissenberg. En el espectro de energía de las fluctuaciones de velocidad, se observa una ley de decaimiento pronunciado de la escala de la estructura hacia una escala pequeña, y esto puede ser reconocido como una característica ubicua de EIT. La existencia de inestabilidad en el flujo de Couette plano viscoelástico apoya la idea de que el camino de transición hacia EIT puede ser mediado por inestabilidad subcrítica.