Se considera en este documento un modelo de depredador-presa de reacción-difusión con la latencia de los depredadores. Nos preocupamos por los comportamientos a largo plazo de las soluciones de este sistema. Dividimos nuestras investigaciones en dos casos: para el sistema de EDOs, estudiamos la existencia y estabilidad de las soluciones de equilibrio y derivamos condiciones precisas sobre los parámetros del sistema para que el sistema pueda experimentar bifurcaciones de Hopf alrededor de la solución de equilibrio positiva. Además, se estudian en detalle las propiedades de la bifurcación de Hopf. Para el sistema de reacción-difusión, somos capaces de derivar condiciones sobre los coeficientes de difusión para que las soluciones periódicas de Hopf homogéneas espacialmente puedan experimentar inestabilidad desencadenada por la difusión. Para respaldar nuestro análisis teórico, también incluimos varios resultados numéricos.