Este trabajo se centra en encontrar soluciones a problemas inversos de coeficientes de frontera libre. Matemáticamente, manejamos una ecuación de calor no homogénea unidimensional sujeta a condiciones iniciales y de frontera, así como observaciones integrales no localizadas de momento de calor de orden cero y primero. El problema directo se resuelve para la distribución de temperatura y las mediciones integrales no localizadas utilizando el método de diferencias finitas Crank-Nicolson. El problema inverso se resuelve encontrando simultáneamente la distribución de temperatura, la función de frontera libre dependiente del tiempo que indica la ubicación de la interfaz en movimiento, y las velocidades de difusividad térmica o advección en función del tiempo. Reformulamos el problema inverso como un problema de optimización no lineal y utilizamos el solucionador de mínimos cuadrados no lineales de la caja de herramientas de optimización de MATLAB. A través de ejemplos y discusiones, determinamos los valores óptimos de los parámetros de regulación para garantizar reconstrucciones precisas, convergentes y estables. El problema directo está bien planteado, y el método de Crank-Nicolson proporciona soluciones precisas con errores relativos por debajo cuando los elementos de discretización son. La precisión de las soluciones directas ayuda a obtener soluciones sensatas para el problema inverso. Aunque el problema inverso está mal planteado, determinamos los valores óptimos de los parámetros de regularización para obtener soluciones satisfactorias. También investigamos la existencia de soluciones inversas a los problemas considerados y verificamos su unicidad en base a definiciones y teoremas establecidos.