Para una -variedad Riemanniana compacta dotada de un campo vectorial conforme no trivial con un factor conforme , existe un tensor antisimétrico asociado llamado el tensor asociado, y además, admite la descomposición de Hodge , donde satisface , que se llama el vector de Hodge, y es el potencial de Hodge de . El propósito principal de este artículo es iniciar un estudio sobre el impacto del vector de Hodge y su potencial en . El primer resultado de este artículo establece que una -variedad Riemanniana compacta es una -esfera si y solo si (1) para una constante no nula , la función es una solución de la ecuación de Poisson , y (2) la curvatura de Ricci satisface . El segundo resultado establece que si tiene curvatura escalar constante , entonces es un si y solo si la curvatura de Ricci satisface y el potencial de Hodge satisface una cierta ecuación de fluido perfecto estático. El tercer resultado proporciona otra caracterización nueva de usando el tensor de afinidad del vector de Hodge de un campo vectorial conforme en una variedad Riemanniana compacta con curvatura de Ricci positiva. El último resultado establece que una variedad Riemanniana completa y conectada , , es un -espacio euclidiano si y solo si admite un campo vectorial conforme no trivial cuyo tensor de afinidad se anula de forma idéntica y aniquila su tensor asociado.