Un hexápodo es un manipulador paralelo donde la plataforma está vinculada a la base por seis patas, que están ancladas a través de juntas esféricas. En general, tal dispositivo mecánico es rígido para longitudes de patas fijas, pero, bajo condiciones particulares, puede realizar un movimiento denominado auto-movimiento. En este artículo, determinamos todos los hexápodos que poseen auto-movimientos de un tipo especial. Los movimientos en consideración son los llamados simétricos en plano, que son el contraparte espacial directa de los rodajes simétricos en plano/esférico. La clasificación completa de hexápodos con auto-movimientos simétricos en plano se logra formulando el problema en términos de geometría algebraica mediante parámetros de Study. Resulta que, además de los rodajes simétricos en plano/esférico con trayectorias circulares y dos casos triviales (auto-movimiento de mariposa y auto-movimiento esférico bidimensional), solo existe una solución adicional, que es el llamado hexápodo Duporcq. Este manipulador, que se estudia en detalle en la última parte del artículo, puede ser de interés para el diseño de estructuras desplegables debido a su comportamiento cinematrotópico y singularidades de ramificación totalmente planas.