En este artículo, establecemos nuevas generalizaciones de las desigualdades de tipo Hermite-Hadamard. Estas desigualdades se formulan en términos de módulos de ciertas potencias de funciones adecuadas. También se consideran generalizaciones para funciones convexas. Como aplicaciones, se presentan algunas nuevas desigualdades para la función digamma en términos de la función trigamma y algunas desigualdades que involucran medias especiales de números reales. Los resultados también incluyen estimaciones a través de medias aritméticas, geométricas y logarítmicas. Los ejemplos se derivan para demostrar que algunos de nuestros resultados en este artículo son más exactos que los existentes y que mejoran varios resultados conocidos disponibles en la literatura. Las constantes en las desigualdades derivadas son calculadas; algunas de estas constantes son óptimas. Como ejemplo visual, se incluyen gráficos de algunas funciones técnicamente importantes en el texto.