Consideramos un problema elíptico variacional no lineal con no linealidad crítica en un dominio acotado y condiciones de contorno mixtas de Dirichlet-Neumann. Estudiamos el efecto de la topología del dominio en la existencia de soluciones como lo hicieron Bahri-Coron en su famoso trabajo sobre el problema de Dirichlet homogéneo. Sin embargo, debido a la influencia de la parte de la frontera donde se prescribe la condición de Neumann, la imagen de explosión en el presente escenario es más complicada y hace que los problemas de contorno mixto sean diferentes con respecto a los homogéneos. Esta complejidad impone la modificación del argumento de Bahri-Coron y exige nuevas construcciones e ideas adicionales.