El objetivo de este documento es obtener las propiedades sub-Riemannianas del grupo de roto-traslación. Al mismo tiempo, calculamos los límites sub-Riemannianos de la curvatura gaussiana asociada con dos tipos de conexiones canónicas para una superficie suave en el grupo de roto-traslación lejos de los puntos característicos y la curvatura geodésica firmada asociada con dos tipos de conexiones canónicas para curvas suaves en superficies. Con base en estos resultados, obtenemos un teorema de Gauss-Bonnet en el.