Hemos desarrollado un análisis de convergencia local para un esquema general de convergencia de alto orden, con el objetivo de resolver ecuaciones en espacios de Banach. Se desarrollan estimaciones a priori basadas en las distancias de error. De esta manera, conocemos de antemano el número de iteraciones requeridas para alcanzar una tolerancia de error predeterminada. Además, se determina un radio de convergencia, lo que permite la selección de puntos iniciales asegurando la convergencia del esquema. Además, se especifica un vecindario que contiene solo una solución a la ecuación. Destacamos la convergencia generalizada de estos esquemas bajo condiciones débiles. Nuestros hallazgos se basan en requisitos de continuidad generalizada y contienen un nuevo análisis de convergencia semi-local (con una secuencia mayorante) no visto en estudios anteriores basados en series de Taylor y derivadas que no están presentes en el esquema. Concluimos con una buena colección de resultados numéricos derivados de problemas de ciencias aplicadas.